Applied Algebra Seminar: SoSe 2026
Exact Recovery from Completely Noisy Data: Averaging and Noise-Aware Sampling in Adaptive Bregman-Kaczmarz
Lionel Ngoupeyou Tondji (TU Braunschweig)
While randomized Bregman-Kaczmarz methods are effective for large-scale inverse problems, existing block variants typically stall at a noise floor under persistent corruptions and lack theoretical guarantees that larger batches accelerate convergence. This talk introduces Adaptive Averaged Bregman-Kaczmarz (AABK), a framework that addresses these limitations using block averaging rather than summation. We prove that the convergence rate under AABK improves monotonically with the batch size, with a gain governed by the system's stable rank. To handle heteroscedastic noise, we present a noise-aware sampling and weighting strategy. Combined with an adaptive step size that transitions automatically from a fast linear phase to a decaying 1/k Robbins-Monro tail, AABK guarantees exact recovery of the solution from completely noisy data. Numerical experiments on computed tomography (CT) reconstruction validate these theoretical findings.
Die Pythagoraszahl für Summen von Quadraten
Alva-Marthe Holtz (TU Braunschweig)
Bachelor thesis talk. Abstract: Wenn ein Polynom $f \in \mathbb{R}[\mathbf{x}]$ mindestens eine Darstellung der Form $ s(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^t s_j(\mathbf{x})^2$ mit den Polynomen $s_1(\mathbf{x}), \dots, s_t(\mathbf{x})\in \mathbb{R}[\mathbf{x}]$ und $t \in \mathbb{N}\backslash\{0\}$ besitzt, dann liegt es in der Menge der Summen von Quadraten des Grades $2d$ mit $n$ Variablen $\Sigma_{n,2d}$ und die Darstellung wird als Summe von Quadraten bezeichnet. Eines der wichtigsten Resultate zu Summen von Quadraten ist Hilberts Theorem aus dem Jahr 1888, welches sich damit beschäftigt für welche Fälle die Menge der nicht negativen Polynome vom Grad $2d$ in $n$ Variablen identisch ist zu $\Sigma_{n,2d}$. Die Grundlage des in der Arbeit behandelten Beweises ist der von Albrecht Pfister und Claus Schneiderer. Das Augenmerk liegt beim Beweis des Falles $(n, 2d) = (2, 4)$, welcher beinhaltet, dass jedes nicht negative Polynom als Summe von drei Quadraten geschrieben werden kann. Die Pythagoraszahl für Summen von Quadraten $\mathrm{Py}(n + 1, 2d)$ bezeichnet die maximale Anzahl der Summanden in Darstellung als Summe von Quadraten für homogene Polynome vom Grad $2d$ in $n + 1$ Variablen. Damit folgt aus Hilbert’s Theorem $\mathrm{Py}(3, 4) = 3$.
Wahltheorien und Arrows Unmöglichkeitstheorem
Benjamin Schöne (TU Braunschweig)
Bachelor thesis talk. Abstract: Die vorliegende Bachelorarbeit untersucht die axiomatischen Grundlagen der Sozialwahltheorie, um die mathematischen Grenzen und Möglichkeiten verschiedener Abstimmungsverfahren zu analysieren. Im Zentrum der Arbeit steht der Beweis von Arrows Allgemeinem Möglichkeitstheorem. Dieser belegt, dass kein auf Rangordnungen basierendes Wahlsystem alle grundlegenden Anforderungen an Fairness gleichzeitig erfüllen kann. Das Theorem verdeutlicht die Unmöglichkeit, individuelle Präferenzen ideal zu einem kollektiven Willen zu aggregieren.
Angesichts dieser systemischen Herausforderung werden moderne Alternativen wie das Schulze-Verfahren und das Majority Judgment evaluiert. Es wird gezeigt, dass das Majority Judgment durch den Wechsel von der relativen Rangordnung zur absoluten Bewertung Arrows Dilemma erfolgreich umgeht, dabei aber neue Kompromisse eingehen muss. Die Arbeit schlussfolgert, dass es kein ideales Wahlsystem gibt und die Wahl des Verfahrens stets eine normative Entscheidung ist, die auf dem spezifischen Demokratiebegriff der jeweiligen Gesellschaft beruht.
The configuration of the 27 lines on a smooth cubic surface
Jonas Krusekopf (TU Braunschweig)
Bachelor thesis talk.
Universality of Polytope Rigidity
Martin Winter (Max-Planck-Insitute for Mathematics in the Sciences, Leipzig)
If we consider a polytope as a point-hyperplane framework we can study its deformations that preserve both edge lengths and face co-planarities. In collaboration with Bernd Schulze, Matthias Adrian-Himmelmann and Albert Zhang we worked out the rigidity theory of these systems of which I will give an overview in this talk. The main findings were that generically chosen polytopes are rigid, but that already quite small non-generic polytopes can show intricate rigidity behavior. In ongoing work with Bernd Schulze we quantify this by showing that already 3-dimensional polytopes exhibit local universality. This means, for every real algebraic set S we can construct a 3-polytope whose deformation space is locally equivalent to S. This is achieved by generalizing the classical grid bracing problem to higher dimensions and establishing a duality between polytope rigidity and rigidity of spherical frameworks.
This is joined work with Bernd Schulze